Лінійна залежність та ранг матриці. Теорія слау Виявити лінійні залежності між цими стовпцями

Зауважимо, що рядки та стовпці матриці можна розглядати як арифметичні вектори розмірів mі nвідповідно. Таким чином, матрицю розмірів можна інтерпретувати як сукупність m n-мірних або n m-мірні арифметичні вектори. За аналогією з геометричними векторами введемо поняття лінійної залежності та лінійної незалежності рядків та стовпців матриці.

4.8.1. Визначення. Рядок
називається лінійною комбінацією рядківз коефіцієнтами
якщо для всіх елементів цього рядка справедлива рівність:

,
.

4.8.2. Визначення.

Рядки
називаються лінійно залежними, якщо є їх нетривіальна лінійна комбінація, рівна нульової рядку, тобто. існують такі не всі рівні нулю числа

,
.

4.8.3. Визначення.

Рядки
називаються лінійно незалежними, якщо їх тривіальна лінійна комбінація дорівнює нульової рядку, тобто.

,

4.8.4. Теорема. (Критерій лінійної залежності рядків матриці)

Для того щоб рядки були лінійно залежними, необхідно і достатньо, щоб хоча б одна з них була лінійною комбінацією інших.

Доведення:

Необхідність.Нехай рядки
лінійно залежні, тоді існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює нульовому рядку:

.

Без обмеження спільності припустимо, що з коефіцієнтів лінійної комбінації відмінний від нуля (інакше можна перенумерувати рядки). Розділивши це співвідношення на , отримаємо

,

тобто перший рядок є лінійною комбінацією інших.

Достатність.Нехай один із рядків, наприклад, , є лінійною комбінацією інших, тоді

тобто існує нетривіальна лінійна комбінація рядків
, рівна нульовому рядку:

отже, рядки
лінійно залежні, що й потрібно було довести.

Зауваження.

Аналогічні визначення та затвердження можуть бути сформульовані і для стовпців матриці.

§4.9. Ранг матриці.

4.9.1. Визначення. Міноромпорядку матриці розміру
називається визначник порядку з елементами, розташованими на перетині деяких її рядків та стовпців.

4.9.2. Визначення. матриці розміру
називається Відмінний від нуля мінор порядку базисниммінором
якщо всі мінори матриці порядку

рівні нулю. розміру
Зауваження. Матриця може мати кілька базисних мінорів. Очевидно, всі вони будуть одного порядку. Також можливий випадок, коли у матриці мінор порядку
відмінний від нуля, а мінорів порядку
.

4.9.3. Визначення. Рядки (стовпці), що утворюють базисний мінор, називаютьсябазисними

рядками (стовпцями). 4.9.4. Визначення.Рангом матриці називається порядок її базисного мінору. Ранг матриці
позначається
.

Зауваження.

або

Зазначимо, що з рівноправності рядків і стовпців визначника ранг матриці не змінюється за її транспонуванні.

4.9.5. Теорема. (Інваріантність рангу матриці щодо елементарних перетворень)

Ранг матриці не змінюється за її елементарних перетвореннях.

Без підтвердження.

4.9.6. Теорема. (Про базисний мінор).

Доведення:

Базисні рядки (стовпці) лінійно незалежні. Будь-який рядок (стовпець) матриці може бути представлений у вигляді лінійної комбінації її базисних рядків (стовпців).

Проведемо доказ для рядків. Доказ затвердження для стовпців може бути проведений за аналогією. Нехай ранг матриці
розмірів дорівнює
, а

.

− базисний мінор. Без обмеження на спільність припустимо, що базисний мінор розташований у лівому верхньому кутку (інакше можна привести матрицю до цього виду за допомогою елементарних перетворень):
Доведемо спочатку лінійну незалежність базових рядків. Доказ проведемо від протилежного. Припустимо, що базові рядки лінійно залежні. Тоді згідно з теоремою 4.8.4 один із рядків може бути представлений у вигляді лінійної комбінації інших базисних рядків. Отже, якщо відняти з цього рядка вказану лінійну комбінацію, то ми отримаємо нульовий рядок, а це означає, що мінор

дорівнює нулю, що суперечить визначенню базисного мінору. Таким чином, ми одержали протиріччя, отже, лінійну незалежність базисних рядків доведено. Доведемо тепер, що кожен рядок матриці може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних рядків. Якщо номер рядка, що розглядається від 1 до r , то тоді, очевидно, вона може бути представлена ​​у вигляді лінійної комбінації з коефіцієнтом, рівним 1 при рядку та нульовими коефіцієнтами при інших рядках. Покажемо тепер, що якщо номер рядка
від
до
, вона може бути представлена ​​у вигляді лінійної комбінації базисних рядків. Розглянемо мінор матриці
, отриманий з базисного мінору додаванням рядка
:

та довільного стовпця
та нульовими коефіцієнтами при інших рядках. Покажемо тепер, що якщо номер рядка
від
Покажемо, що цей мінор Доведемо тепер, що кожен рядок матриці може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних рядків. Якщо номер рядка, що розглядається .

і для будь-якого номера стовпця Доведемо тепер, що кожен рядок матриці може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних рядків. Якщо номер рядка, що розглядається від 1 доСправді, якщо номер стовпця та нульовими коефіцієнтами при інших рядках. Покажемо тепер, що якщо номер рядка від 1 до, то маємо визначник із двома однаковими стовпцями, який, очевидно, дорівнює нулю. Якщо ж номер стовпця +1 до та нульовими коефіцієнтами при інших рядках. Покажемо тепер, що якщо номер рядка
від
, а номер рядка
є мінором вихідної матриці більшого порядку, ніж базисний мінор, а це означає, що він дорівнює нулю визначення базисного мінору. Таким чином, доведено, що мінор
дорівнює нулю для будь-якого номера рядка та нульовими коефіцієнтами при інших рядках. Покажемо тепер, що якщо номер рядка
від
Покажемо, що цей мінор Доведемо тепер, що кожен рядок матриці може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних рядків. Якщо номер рядка, що розглядається . Розкладаючи його по останньому стовпцю, отримаємо:

Тут
− відповідні алгебраїчні доповнення. Зауважимо, що
, тому що,
є базисним мінором. Отже, елементи рядка kможуть бути представлені у вигляді лінійної комбінації відповідних елементів базисних рядків з коефіцієнтами, що не залежать від номера стовпця :

Таким чином, ми довели, що довільний рядок матриці може бути представлений у вигляді лінійної комбінації її базисних рядків. Теорему доведено.

Лекція 13

4.9.7. Теорема. (Про ранг невиродженої квадратної матриці)

Для того щоб квадратна матриця була невиродженою, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнює розміру цієї матриці.

Доведення:

Необхідність.Нехай квадратна матриця розміру nє невиродженою, тоді
, Отже, визначник матриці є базисним мінором, тобто.

Достатність.Нехай
тоді порядок базисного мінору дорівнює розміру матриці, отже, базисним мінором є визначник матриці , тобто.
з визначення базисного мінору.

Слідство.

Для того щоб квадратна матриця була невиродженою, необхідно і достатньо, щоб її рядки були лінійно незалежними.

Доведення:

Необхідність.Оскільки квадратна матриця є невиродженою, її ранг дорівнює розміру матриці
тобто визначник матриці є базовим мінором. Отже, за теоремою 4.9.6 про базисний мінор рядки матриці є лінійно незалежними.

Достатність.Оскільки всі рядки матриці лінійно незалежні, то її ранг не менший за розмір матриці, а значить,
отже, за попередньою теоремою 4.9.7 матриця є невиродженою.

4.9.8. Метод облямівних мінорів для знаходження рангу матриці.

Зауважимо, що частково цей метод вже був неявно описаний у доказі теореми про базисний мінор.

4.9.8.1. Визначення. Мінор
називається облямовуючимпо відношенню до мінору
, якщо його отримано з мінору
додаванням одного нового рядка та одного нового стовпця вихідної матриці.

4.9.8.2. Процедура знаходження рангу матриці методом обрамляють мінорів.

Знаходимо якийсь поточний мінор матриці відмінний від нуля.

Обчислюємо всі мінори, що його облямовують.

Якщо вони рівні нулю, то поточний мінор є базисним, і ранг матриці дорівнює порядку поточного мінору.

Якщо серед обрамляючих мінорів знаходиться хоча б один відмінний від нуля, то він належить поточним і процедура триває.

Знайдемо за допомогою методу мінорів, що облямовують, ранг матриці.

.

Легко вказати поточний мінор другого порядку, відмінний від нуля, наприклад,

.

Обчислюємо його мінори, що облямовують:

Отже, так як всі мінори третього порядку, що облямовують, дорівнюють нулю, то мінор
є базисним, тобто

Зауваження. З розглянутого прикладу видно, що є досить трудомістким. Тому практично набагато частіше використовується метод елементарних перетворень, мова про який піде нижче.

4.9.9. Знаходження рангу матриці шляхом елементарних перетворень.

З теореми 4.9.5 можна стверджувати, що ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях (тобто ранги еквівалентних матриць рівні). Тому ранг матриці дорівнює рангу ступінчастої матриці, отриманої вихідної елементарними перетвореннями. Ранг ступінчастої матриці, очевидно, дорівнює кількості її ненульових рядків.

Визначимо ранг матриці

методом елементарних перетворень.

Наведемо матрицю до ступінчастого вигляду:

Кількість ненульових рядків отриманої ступінчастої матриці дорівнює трьом, отже,

4.9.10. Ранг системи вектор лінійного простору.

Розглянемо систему векторів
деякого лінійного простору . Якщо вона є лінійно залежною, то в ній можна виділити лінійно незалежну підсистему.

4.9.10.1. Визначення. Ранг системи векторів
лінійного простору називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів цієї системи. Ранг системи векторів
позначається як
.

Зауваження. Якщо система векторів лінійно незалежна, її ранг дорівнює кількості векторів системи.

Сформулюємо теорему, що показує зв'язок понять рангу системи векторів лінійного простору та рангу матриці.

4.9.10.2. Теорема. (Про ранг системи векторів лінійного простору)

Ранг системи векторів лінійного простору дорівнює рангу матриці, стовпцями або рядками якої є координати векторів деякому базисі лінійного простору.

Ранг матриці не змінюється за її елементарних перетвореннях.

Слідство.

Для того, щоб система векторів лінійного простору була лінійно незалежною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, стовпцями або рядками якої є координати векторів в деякому базисі, дорівнював кількості векторів системи.

Доказ очевидний.

4.9.10.3. Теорема (Про розмірність лінійної оболонки).

Розмір лінійної оболонки векторів
лінійного простору дорівнює рангу цієї системи векторів:

Ранг матриці не змінюється за її елементарних перетвореннях.

Лінійна незалежність рядків матриці

Дана матриця розміру

Позначимо рядки матриці наступним чином:

Два рядки називаються рівними якщо рівні їхні відповідні елементи. .

Введемо операції множення рядка на число та додавання рядків як операції, що проводяться поелементно:

Визначення.Рядок називається лінійною комбінацією рядків матриці, якщо вона дорівнює сумі творів цих рядків на довільні дійсні числа (будь-які числа):

Визначення.Рядки матриці називаються лінійно залежними , якщо є такі числа , не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовому рядку:

Де. (1.1)

Лінійна залежність рядків матриці означає, що хоча б 1 рядок матриці є лінійною комбінацією інших.

Визначення.Якщо лінійна комбінація рядків (1.1) дорівнює нулю і тоді, коли всі коефіцієнти , то рядки називаються лінійно незалежними .

Теорема про ранг матриці. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які лінійно виражаються всі інші рядки (стовпці).

Теорема відіграє важливу роль матричному аналізі, зокрема, щодо систем лінійних рівнянь.

6, 13,14,15,16. Вектор. Операції над векторами (додавання, віднімання, множення на число),n -Вимірний вектор. Поняття про векторний простір та його базис.

Вектор назується спрямований відрізок з початковою точкою Аі кінцевою точкою У(який можна переміщати паралельно самому собі).

Вектори можуть позначатися як двома великими літерами, так і однією малою з характеристикою або стрілкою.

Довжиною (або модулем) вектора називається число, що дорівнює довжині відрізка АВ, що зображує вектор.

Вектори, що лежать на одній прямій або паралельних прямих, називають колінеарними .

Якщо початок і кінець вектора збігаються (), такий вектор називається нульовим та позначається = . Довжина нульового вектора дорівнює нулю:

1) Добутком вектора на число:

Буде вектор, що має довжину, напрямок якого збігається з напрямком вектора , якщо , і протилежно йому, якщо .

2) Протилежний вектор -називається твір вектора -на число(-1), тобто. -=.

3) Сумою двох векторів і називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець з кінцем вектора , за умови, що початок збігається з кінцем . (Правило трикутників). Аналогічно визначається сума кількох векторів.

4) Різниця двох векторів і називається сума вектора та вектора -, протилежного .

Скалярний добуток

Визначення: Скалярним добутком двох векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

n-мірний вектор та векторний простір

Визначення. n-вимірним вектором називається впорядкована сукупність n дійсних чисел, що записуються у вигляді х = (х 1, х 2, ..., х n), де х i – i -а компонента вектора х.

Поняття n-вимірного вектора широко використовується в економіці, наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати вектором х = (х 1, х 2, ..., х n),а відповідні ціни у = (у 1, 2, ..., у n).

- Два n-мірні вектори рівні і тоді, коли рівні їх відповідні компоненти, тобто. х=у, якщо х i= у i, i = 1,2,…,n.

- сумою двох векторів однакової розмірності nназивається вектор z = x + y, компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонент доданків векторів, тобто. z i= x i+ y i, i = 1,2, ..., n.

- Добутком вектора х на дійсне число називається вектор , компоненти якого рівні добутку відповідні компоненти вектора , тобто . , i= 1,2,…,n.

Лінійні операції над будь-якими векторами задовольняють такі властивості:

1) - комутативна (переміщувальна) властивість суми;

2) - асоціативна (сполучна) властивість суми;

3) - асоціативна щодо числового множника властивість;

4) - дистрибутивна (розподільна) щодо суми векторів властивість;

5) - дистрибутивна щодо суми числових множників властивість;

6) Існує нульовий вектор такий, що для будь-якого вектора (особлива роль нульового вектора);

7) Для будь-якого вектора існує протилежний вектор такий, що ;

8) для будь-якого вектора (особлива роль числового множника 1).

Визначення. Безліч векторів з дійсними компонентами, в якому визначено операції складання векторів та множення вектора на число, що задовольняє наведеним вище восьми властивостями (розглядається як аксіоми), називається векторним станом .

Розмірність та базис векторного простору

Визначення. Лінійний простір називається n-мірним якщо в ньому існує nлінійно незалежних векторів, а будь-які вектори вже є залежними. Іншими словами, розмірність простору – це максимальна кількість лінійно незалежних векторів, що містяться в ньому. Число n називається розмірністю простору і позначається.

Сукупність n лінійно незалежних векторів n-вимірного простору називається базисом .

7. Власні вектори та власні значення матриці. Характеристичне рівняння матриці.

Визначення. Вектор називається власним вектором лінійного оператора, якщо знайдеться таке число, що:

Число називається власним значенням оператора (матриці А), що відповідає вектору .

Можна записати у матричній формі:

Де - матриця-стовпець з координат вектора або в розгорнутому вигляді:

Перепишемо систему так, щоб у правих частинах були нулі:

чи матричному вигляді: . Отримана однорідна система має нульове рішення. Для існування ненульового рішення потрібно і достатньо, щоб визначник системи: .

Визначник є багаточленом n-й ступеня щодо. Цей багаточлен називається характеристичним багаточленом оператора або матриці А, а отримане рівняння – характеристичним рівнянням оператора чи матриці А.

Приклад:

Знайти власні значення та власні вектори лінійного оператора, заданого матрицею.

Розв'язання: Складаємо характеристичне рівняння або звідки власне значення лінійного оператора.

Знаходимо власний вектор, що відповідає власному значенню. Для цього розв'язуємо матричне рівняння:

Або , або , звідки знаходимо: , або

Або.

Припустимо, що , отримаємо, що вектори при будь-якому є власними векторами лінійного оператора з власним значенням .

Аналогічно, вектор.

8. Система плінійних рівнянь з пзмінними ( загальний вигляд). Матрична форма запису такої системи. Рішення системи (визначення). Спільні та несумісні, певні та невизначені системи лінійних рівнянь.

Розв'язання системи лінійних рівнянь із невідомими

Системи лінійних рівнянь знаходять широке застосування економіки.

Система лінійних рівнянь зі змінними має вигляд:

,

де () - довільні числа, звані коефіцієнтами при змінних і вільними членами рівнянь відповідно.

Короткий запис: ().

Визначення.Рішенням системи називається така сукупність значень, при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється на правильну рівність.

1) Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення, та несуміснийякщо вона не має рішень.

2) Спільна система рівнянь називається певною , якщо вона має єдине рішення, та невизначеною якщо вона має більше одного рішення.

3) Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними) якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень (наприклад, одне рішення).

Запишемо систему в матричній формі:

Позначимо: , де

А- матриця коефіцієнтів при змінних, або матриця системи, Х - матриця-стовпець змінних, У - матриця-стовпець вільних членів.

Т.к. число стовпців матриці дорівнює кількості рядків матриці , то їх добуток:

Є матриця-стовпець. Елементами одержаної матриці є ліві частини початкової системи. З визначення рівності матриць початкову систему можна записати як: .

Теорема Крамера. Нехай - визначник матриці системи, а - визначник матриці, що отримується з матриці заміною -го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді, якщо , то система має єдине рішення, яке визначається за формулами:

Формула Крамер.

приклад. Розв'язати систему рівнянь за формулами Крамера

Рішення. Визначник матриці системи. Отже система має єдине рішення. Обчислимо , отримані із заміною відповідно першого, другого, третього стовпців стовпцем вільних членів:

За формулами Крамера:

9. Метод Гауса вирішення системиn лінійних рівнянь з пзмінними. Поняття методу Жордана – Гаусса.

Метод Гауса - метод послідовного виключення змінних.

Метод Гаусса у тому, що з допомогою елементарних перетворень рядків і перестановок стовпців система рівнянь наводиться до рівносильної системі ступінчастого (чи трикутного) виду, з якої послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, перебувають інші змінні.

Перетворення Гауса зручно проводити не з самими рівняннями, а з розширеною матрицею їх коефіцієнтів, що отримується приписуванням до матриці стовпця вільних членів:

.

Слід зазначити, що методом Гауса можна вирішити будь-яку систему рівнянь виду .

приклад. Методом Гауса вирішити систему:

Випишемо розширену матрицю системи.

Крок 1 . Поміняємо місцями перший і другий рядки, щоб став рівним 1.

Крок 2 Помножимо елементи першого рядка на (–2) та (–1) і додамо їх до елементів другого та третього рядків, щоб під елементом у першому стовпці утворилися нулі. .

Для спільних систем лінійних рівнянь вірні такі теореми:

Теорема 1.Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює кількості змінних, тобто. , то система має єдине рішення.

Теорема 2.Якщо ранг матриці спільної системи менше кількості змінних, тобто. , то система є невизначеною і має безліч рішень.

Визначення.Базовим мінором матриці називається будь-який ненульовий мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Визначення.Ті невідомих, коефіцієнти у яких входять у запис базисного мінору, називаються базисними (чи основними), інші невідомих називаються вільними (чи неосновными).

Вирішити систему рівнянь у разі - це означає висловити і (т.к. визначник, складений з їх коефіцієнтів не дорівнює нулю), тоді і - вільні невідомі.

Висловимо базисні змінні через вільні.

З другого рядка отриманої матриці висловимо змінну:

З першого рядка висловимо: ,

Загальне рішення системи рівнянь: , .

Поняття лінійної залежності та лінійної незалежності визначаються для рядків та стовпців однаково. Тому властивості, пов'язані з цими поняттями, сформульовані для стовпців, очевидно, справедливі й у рядків.

1. Якщо систему стовпців входить нульовий стовпець, вона лінійно залежна.

2. Якщо в системі стовпців є два рівні стовпці, то вона лінійно залежна.

3. Якщо системі стовпців є два пропорційних стовпця , вона лінійно залежна.

4. Система зі стовпців лінійно залежна тоді й лише тоді, коли хоча б один із стовпців є лінійна комбінація інших.

5. Будь-які стовпці, що входять до лінійно незалежної системи, утворюють лінійно незалежну підсистему.

6. Система стовпців, що містить лінійно залежну підсистему, лінійно залежна.

7. Якщо система стовпців - лінійно незалежна, а після приєднання до неї стовпця - виявляється лінійно залежною, то стовпець можна розкласти по стовпцям, і до того єдиним чином, тобто. Коефіцієнти розкладання знаходяться однозначно.

Доведемо, наприклад, останню властивість. Так як система стовпців лінійно залежна, то є числа не всі рівні 0, що

У цій рівності. Справді, якщо , то

Отже, нетривіальна лінійна комбінація стовпців дорівнює нульовому стовпцю, що суперечить лінійної незалежності системи. Отже, і тоді, тобто. стовпець є лінійна комбінація стовпців. Залишилося показати єдиність такого уявлення. Припустимо неприємне. Нехай є два розкладання і , причому не всі коефіцієнти розкладів відповідно дорівнюють між собою (наприклад, ). Тоді з рівності

Отримуємо (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

послідовно, лінійна комбінація стовпців дорівнює нульовому стовпцю. Так як не всі її коефіцієнти дорівнюють нулю (принаймні), то ця комбінація нетривіальна, що суперечить умові лінійної незалежності стовпців. Отримана суперечність підтверджує єдиність розкладання.

Приклад 3.2.Довести, що два ненульові стовпці і лінійно залежні і тоді, коли вони пропорційні, тобто. .

Рішення.Справді, якщо стовпці і лінійно залежні, то існують такі числа , які не рівні нулю одночасно, що . Причому в цій рівності. Справді, припустивши, що , отримаємо протиріччя, оскільки і стовпець - ненульовий. Отже, . Тому знайдеться число таке, що . Необхідність доведена.

Навпаки, якщо , то . Отримали нетривіальну лінійну комбінацію стовпців, що дорівнює нульовому стовпцю. Отже, стовпці лінійно залежні.

приклад 3.3.Розглянути всілякі системи, утворені зі стовпців

Дослідити кожну систему лінійну залежність.
Рішення. Розглянемо п'ять систем, що містять по одному стовпцю. Відповідно до п.1 зауважень 3.1: системи лінійно незалежні, а система, що складається з одного нульового стовпця, лінійно залежна.

Розглянемо системи, що містять по два стовпці:

- Кожна з чотирьох систем і лінійно залежна, оскільки містить нульовий стовпець (властивість 1);

– система лінійно залежна, оскільки стовпці пропорційні (властивість 3): ;

– кожна з п'яти систем та лінійно незалежна, оскільки стовпці непропорційні (див. затвердження прикладу 3.2).

Розглянемо системи, що містять три стовпці:

- Кожна з шести систем і лінійно залежна, оскільки містить нульовий стовпець (властивість 1);

- Системи лінійно залежні, оскільки містять лінійно залежну підсистему (властивість 6);

- Системи і лінійно залежні, так як останній стовпець лінійно виражається через інші (властивість 4): і відповідно.

Нарешті, системи з чотирьох або п'яти стовпців лінійно залежні (за якістю 6).

Ранг матриці

У цьому розділі розглянемо ще одну важливу числову характеристику матриці, пов'язану з тим, як її рядки (стовпці) залежать один від одного.

Визначення 14.10Нехай дана матриця розмірів і число , що не перевищує найменшого чисел і : . Виберемо довільно рядків матриці та стовпців (номери рядків можуть відрізнятися від номерів стовпців). Визначник матриці, що складається з елементів, що стоять на перетині вибраних рядків і стовпців, називається мінором порядку матриці .

Приклад 14.9Нехай .

Мінором першого порядку є будь-який елемент матриці. Так 2, , - Мінори першого порядку.

Мінори другого порядку:

1. візьмемо рядки 1, 2, стовпці 1, 2, отримаємо мінор ;

2. візьмемо рядки 1, 3, стовпці 2, 4, отримаємо мінор ;

3. візьмемо рядки 2, 3, стовпці 1, 4, отримаємо мінор

Мінори третього порядку:

рядки тут можна вибрати лише одним способом,

1. візьмемо стовпці 1, 3, 4, отримаємо мінор ;

2. візьмемо стовпці 1, 2, 3, отримаємо мінор .

Пропозиція 14.23 Якщо всі мінори матриці порядку дорівнюють нулю, то всі мінори порядку, якщо такі існують, теж дорівнюють нулю.

Доведення. Візьмемо довільний мінор порядку. Це визначник матриці порядку. Розкладемо його за першим рядком. Тоді в кожному доданку розкладання один з множників буде мінором порядку вихідної матриці. За умовою мінори порядку рівні нулю. Тому і мінор порядку дорівнюватиме нулю.

Визначення 14.11Рангом матриці називається найбільший із порядків мінорів матриці, відмінних від нуля. Ранг нульової матриці вважається рівним нулю.

Єдине, стандартне, позначення рангу матриці відсутнє. Дотримуючись підручника, ми позначатимемо його.

Приклад 14.10Матриця прикладу 14.9 має ранг 3, оскільки є мінор третього порядку, відмінний від нуля, а мінорів четвертого порядку немає.

Ранг матриці дорівнює 1, так як є ненульовий мінор першого порядку (елемент матриці), а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю.

Ранг невиродженої квадратної матриці порядку дорівнює , оскільки її визначник є мінором порядку і невиродженої матриці відмінний від нуля.

Пропозиція 14.24 При транспонуванні матриці її ранг не змінюється, тобто .

Доведення. Транспонований мінор вихідної матриці буде мінором транспонованої матриці , і навпаки, будь-який мінор є транспонованим мінором вихідної матриці . При транспонуванні визначник (мінор) не змінюється (пропозиція 14.6). Тому якщо всі мінори порядку у вихідній матриці дорівнюють нулю, то всі мінори того ж порядку теж рівні нулю. Якщо ж мінор порядку у вихідній матриці відмінний від нуля, то є мінор того ж порядку, відмінний від нуля. Отже, .

Визначення 14.12Нехай ранг матриці дорівнює. Тоді будь-який мінор порядку, відмінний від нуля, називається базовим мінором.

Приклад 14.11Нехай . Визначник матриці дорівнює нулю, тому що третій рядок дорівнює сумі перших двох. Мінор другого порядку, розташований у перших двох рядках та перших двох стовпцях, дорівнює . Отже, ранг матриці дорівнює двом, і розглянутий мінор базисним.

Базисним мінором є також мінор, розташований, скажімо, у першому та третьому рядках, першому та третьому стовпцях: . Базисним буде мінор у другому та третьому рядках, першому та третьому стовпцях: .

Мінор у першому та другому рядках, другому та третьому стовпцях дорівнює нулю і тому не буде базисним. Читач може самостійно перевірити, які ще мінори другого порядку будуть базовими, а які ні.

Оскільки стовпці (рядки) матриці можна складати, множити числа, утворювати лінійні комбінації, можна ввести визначення лінійної залежності і лінійної незалежності системи стовпців (рядків) матриці. Ці визначення аналогічні таким же визначенням 1014, 1015 для векторів.

Визначення 14.13Система стовпців (рядків) називається лінійно залежною, якщо існує такий набір коефіцієнтів, з яких хоча б один відмінний від нуля, що лінійна комбінація стовпців (рядків) з цими коефіцієнтами дорівнюватиме нулю.

Визначення 14.14Система стовпців (рядків) є лінійно незалежною, якщо з рівності нулю лінійної комбінації цих стовпців (рядків) слід, що це коефіцієнти цієї лінійної комбінації дорівнюють нулю.

Правильне також наступне речення, аналогічне пропозиції 10.6.

Пропозиція 14.25 Система стовпців (рядків) є лінійно залежною тоді і лише тоді, коли один із стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків) цієї системи.

Сформулюємо теорему, що називається теорема про базисний мінор.

Теорема 14.2 Будь-який стовпець матриці є лінійною комбінацією стовпців, що проходять через базовий мінор.

Доказ можна знайти у підручниках з лінійної алгебри, наприклад, у , .

Пропозиція 14.26 Ранг матриці дорівнює максимальному числу її стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення. Нехай ранг матриці дорівнює. Візьмемо стовпці, що проходять через базовий мінор. Припустимо, що це стовпці утворюють лінійно залежну систему. Тоді один із стовпців є лінійною комбінацією інших. Тому в базисному мінорі один стовпець буде лінійною комбінацією інших стовпців. За пропозиціями 14.15 та 14.18 цей базисний мінор повинен дорівнювати нулю, що суперечить визначенню базисного мінору. Отже, припущення про те, що стовпці, що проходять через базовий мінор, лінійно залежні, не є вірним. Отже, максимальне число стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему, більше або рівне .

Припустимо, що шпальт утворюють лінійно незалежну систему. Складемо з них матрицю. Усі мінори матриці є мінорами матриці. Тому базовий мінор матриці має порядок не більше. По теоремі про базисний мінор, стовпець, що не проходить через базисний мінор матриці є лінійною комбінацією стовпців, що проходять через базисний мінор, тобто стовпці матриці утворюють лінійно залежну систему. Це суперечить вибору стовпців, що утворюють матрицю. Отже, максимальна кількість стовпців, що утворюють лінійно незалежну систему, не може бути більшою. Отже, воно рівне, що й стверджувалося.

Пропозиція 14.27 Ранг матриці дорівнює максимальному числу її рядків, що утворюють лінійно незалежну систему.

Доведення. На пропозицію 14.24 ранг матриці при транспонуванні не змінюється. Рядки матриці стають її стовпцями. Максимальна кількість нових стовпців транспонованої матриці, (колишніх рядків вихідної), що утворюють лінійно незалежну систему, дорівнює рангу матриці.

Пропозиція 14.28 Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то один з його стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Доведення. Нехай порядок матриці дорівнює. Визначник є єдиним мінором квадратної матриці, що має порядок. Оскільки він дорівнює нулю, то . Отже, система зі стовпців (рядків) є лінійно залежною, тобто один із стовпців (один із рядків) є лінійною комбінацією інших.

Результати пропозицій 14.15, 14.18 та 14.28 дають наступну теорему.

Теорема 14.3 Визначник матриці дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли один з її стовпців (один з рядків) є лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Знаходження рангу матриці за допомогою обчислення всіх її мінорів вимагає надто великої обчислювальної роботи. (Читач може перевірити, що у квадратній матриці четвертого порядку 36 мінорів другого порядку.) Тому знаходження рангу застосовується інший алгоритм. Для його опису знадобиться низка додаткових відомостей.

Визначення 14.15Назвемо елементарними перетвореннями матрицьнаступні дії над ними:

1) перестановка рядків чи стовпців;
2) множення рядка чи стовпця на число відмінне від нуля;
3) додавання до одного з рядків іншого рядка, помноженого на число або додавання до одного зі стовпців іншого стовпця, помноженого на число.

Пропозиція 14.29 При елементарних перетвореннях ранг матриці змінюється.

Доведення. Нехай ранг матриці дорівнює - матриця, що вийшла в результаті виконання елементарного перетворення.

Розглянемо перестановку рядків. Нехай - мінор матриці, тоді в матриці є мінор, який або збігається з, або відрізняється від нього перестановкою рядків. І навпаки, будь-якому мінору матриці можна зіставити мінор матриці або збігається з або відрізняється від нього порядком рядків. Тому з того, що в матриці всі мінори порядку рівні нулю, випливає, що в матриці теж всі мінори цього порядку дорівнюють нулю. І тому що в матриці є мінор порядку, відмінний від нуля, то і в матриці теж є мінор порядку, відмінний від нуля, тобто.

Розглянемо множення рядка на число відмінне від нуля. Мінор з матриці відповідає мінор з матриці або збігається з , або відрізняється від нього тільки одним рядком, яка виходить з рядка мінора множенням на число, відмінне від нуля. В останньому випадку. У всіх випадках або одночасно рівні нулю, або одночасно відмінні від нуля. Отже, .

Лінійна алгебра

Теорія слау

1. Матриці, події з матрицями, зворотна матриця. Матричні рівняння та їх розв'язання.

Матриця- Прямокутна таблиця довільних чисел, розташованих в певному порядку, розміром m * n (рядок на стовпці). Елементи матриці позначаються де i – номер рядка, аj – номер стовпця.

Додавання (віднімання)матриць визначено лише для однорозмірних матриць. Сума (різниця) матриць – матриця, елементи якої є відповідно сума (різниця) елементів вихідних матриць.

Множення (розподіл)на число– множення (розподіл) кожного елемента матриці цього числа.

Множення матриць визначено тільки для матриць, число стовпців першої з яких дорівнює числу рядків другого.

Розмноження матриць- матриця, елементи яких задаються формулами:

Транспонування матриці– така матриця B, рядки (стовпці) якої є стовпцями (рядками) у вихідній матриці A. Позначається

зворотна матриця

Матричні рівняння– рівняння виду A * X = B є добуток матриць, відповіддю на дане рівняння є матриця X, яка знаходиться за допомогою правил:

1. Лінійна залежність та незалежність стовпців (рядків) матриці. Критерій лінійної залежності, достатні умови лінійної залежності стовпців (рядків) матриці.

Система рядків (стовпців) називається лінійно незалежною, Якщо лінійна комбінація тривіальна (рівність виконується тільки при a1 ... n = 0), де A1 ... n - стовпці (рядки), а a1 ... n - коефіцієнти розкладання.

Критерій: для того, щоб система векторів була лінійно зависма, необхідно і достатньо, щоб хоча б один із векторів системи лінійно виражався через інші вектори системи.

Достатня умова:

1. Визначники матриці та їх властивості

Визначник матриці (детермінанту)- Таке число, яке для квадратної матриці A може бути обчислено за елементами матриці за формулою:

де - додатковий мінор елемента

Властивості:

1. Зворотній матриці, алгоритм обчислення зворотної матриці.

зворотна матриця- Така квадратна матриця X, яка разом з квадратною матрицею A того ж порядку, задовольняє умові:, де E - одинична матриця, того ж порядку що і. Будь-яка квадратна матриця з визначником, не рівним нулю, має 1 зворотну матрицю. Знаходиться за допомогою методу елементарних перетворень та за допомогою формули:

Концепція рангу матриці. Теорема про базисний мінор. Критерій рівності нулю визначника матриці.

Елементарні перетворення матриць.Обчислення рангу шляхом елементарних перетворень. Обчислення зворотної матриці шляхом елементарних перетворень.

Ранг матриці –порядок базисного мінору (rg A)

Базовий мінор -мінор порядку r не дорівнює нулю, такий що всі мінори порядку r+1 і вище дорівнюють нулю або не існують.

Теорема про базисний мінор -У довільній матриці А кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базисний мінор. Доведення:Нехай у матриці Aрозмірів m*n базисний мінор розташований у перших r рядках і перших r стовпцях. Розглянемо визначник, отриманий приписуванням до базисного мінору матриці А відповідних елементів

s-го рядка та k-го стовпця.Зазначимо, що з будь-яких і цей визначник дорівнює нулю. Якщо, то визначник D містить дві однакових рядки або два однакові стовпці. Якщо ж, то визначник D дорівнює нулю, так як є мінором (r+λ)-ro порядку. Розкладаючи визначник по останньому рядку, отримуємо: де- алгебраїчні доповнення елементів останнього рядка. Зауважимо, що, оскільки це базовий мінор. Тому де Записуючи останню рівність для, отримуємо, тобто.

k-й стовпець(за будь-якого) є лінійна комбінація стовпців базисного мінору, що і потрібно довести.Критерій d

etA=0:

- Визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки лінійно залежні.

Елементарні перетворення

1) множення рядка на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів одного рядка елементів іншого рядка;

3) перестановка рядків;

4) викреслення одного з однакових рядків (стовпців); 5) транспонування;

Обчислення рангу -- Перетворення можуть бути реалізовані множенням на матрицю A деякої матриці T, яка є твіром відповідних елементарних матриць: TA = E.

Це рівняння означає, що матриця перетворення T є зворотною матрицею для матриці . Тоді, отже,

Нехай

Стовпці матриці розмірності. Лінійною комбінацією стовпців матриціназивається матриця-стовпець, при цьому - деякі дійсні або комплексні числа, звані коефіцієнтами лінійної комбінації. Якщо в лінійній комбінації взяти всі коефіцієнти рівними нулю, то лінійна комбінація дорівнює нульовій матриці-стовпцю.

Стовпці матриці називаються лінійно незалежними , якщо їхня лінійна комбінація дорівнює нулю лише коли всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю. Стовпці матриці називаються лінійно залежними якщо існує набір чисел , серед яких хоча б одне відмінно від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Аналогічно можуть бути дані визначення лінійної залежності та лінійної незалежності рядків матриці. Надалі всі теореми формулюються для шпальт матриці.

Теорема 5

Якщо серед стовпців матриці є нульовий, то стовпці матриці лінійно залежать.

Доведення. Розглянемо лінійну комбінацію, в якій всі коефіцієнти дорівнюють нулю при всіх ненульових стовпцях та одиниці при нульовому стовпці. Вона дорівнює нулю, а серед коефіцієнтів лінійної комбінації є відмінний від нуля. Отже, стовпці матриці лінійно залежать.

Теорема 6

Якщо стовпців матриці лінійно залежні, то й усі стовпців матриці лінійно залежні.

Доведення. Будемо для певності вважати, що перші стовпці матриці лінійно залежні. Тоді за визначенням лінійної залежності існує набір чисел , серед яких хоча б одне від нуля, а лінійна комбінація стовпців з цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Складемо лінійну комбінацію всіх стовпців матриці, включивши до неї інші стовпці з нульовими коефіцієнтами

Але. Отже, усі стовпці матриці лінійно залежні.

Слідство. Серед лінійно незалежних стовпців матриці будь-які лінійно незалежні. (Це твердження легко доводиться методом протилежного.)

Теорема 7

Для того, щоб стовпці матриці були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один стовпець матриці був лінійною комбінацією інших.

Доведення.

Необхідність.Нехай стовпці матриці лінійно залежні, тобто існує набір чисел , серед яких хоча б одне від нуля, а лінійна комбінація стовпців із цими коефіцієнтами дорівнює нулю

Припустимо для визначеності, що . Тоді, тобто перший стовпець є лінійна комбінація інших.

Достатність. Нехай хоча б один стовпець матриці є лінійною комбінацією інших, наприклад, де деякі числа.

Тоді, тобто лінійна комбінація стовпців дорівнює нулю, а серед чисел лінійної комбінації хоча б один (при) відмінний від нуля.

Нехай ранг матриці дорівнює. Будь-який відмінний від нуля мінор-го порядку називається Відмінний від нуля мінор порядку . Рядки та стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються Рядки (стовпці), що утворюють базисний мінор, називаються .